Մաթեմատիկա Առաջադրանք

Առաջադրանք 1

Բնական թվեր: Բնական թվերին վերաբերող հասկացությունները ավարտական քննությունների շտեմարաններում: Սահմանումներ և պարզաբանումներ, օրինակներ շտեմարանից և դրանց լուծումը:

Բնական թվեր

Առարկաներ հաշվելու համար օգտագործվող թվերը կոչվում են բնականթվեր:Բնական թվերի բազմությունը նշանակվում է N-ով:Բնական թվերը, դրանց հակադիր թվերը և զրոն կոչվում են ամբողջթվեր:Ամբողջ թվերի բազմությունը նշանակվում է Z-ով:

   Բաժանելիության հայտանիշներ

Բնական թիվը բաժանվում է երկուսի վրա, եթե վերջանում է զրոյովկամ զույգ թվանշանով:Բնական թիվը բաժանվուն է 3-ի վրա, եթե նրա թվանշանների գումարըբաժանվում է 3-ի վրա:Բնական թիվը բաժանվում է 4-ի վրա, եթե այդ թվի վերջին երկութվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի:Բնական թիվը բաժանվում է 5-ի վրա, եթե այն վերջանում է 0-ով կամ5-ով:Եթե թիվը բաժանվում է 2-ի և 3-ի  վրա, ապա բաժանվում է 6-ի վրա:

Պարզ և բաղադրյալ թվեր

1-ից տարբեր բնական թիվը կոչվում է պարզ թիվ, եթե այն բաժանվում է միայն իր վրա ու 1-ի վրա:Բնական թիվը, որն ունի երկու հատից շատ բաժանարար, կոչվում է բաղադրյալ թիվ:Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկՅուրաքանչյուր բնական թիվ, որին բաժանվում է տվյալ բնական թիվը, կոչվում է վերջինիս բաժանարար:Այն բնական թիվը, որը տրված բնական թվերից յուրաքանչյուրի բաժա-նարար է կոչվում է նրանց ընդհանուր բաժանարար:Տրված բնական թվերի ընդհանուր բաժանարարներից ամենամեծը կոչվում է նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար:

Վարժություններ Շտեմարանից

Ինչ պետք է գրել աստղանիշի փոխարեն որպեսզի 17*456 բաժանվի 9-ի

1+7+4+5+6=23

23+4=27

Ինչ պետք է գրել աստղանիշի փոխարեն որպեսզի 183*4 բաժանվի 9-ի

1+8+3+4=16

16+2=18

18/9=2

Առաջադրանք 2

Կոտորակներ: Կոտորակներին վերաբերող հասկացությունները ավարտական քննությունների շտեմարաններում: Սահմանումներ և պարզաբանումներ, օրինակներ շտեմարանից և դրանց լուծումը

Կոտորակներ

Կոտորակները հնարավորություն են տալիս գրել ոչ ամբողջ թվերը: Կոտորակներով կարելի է լրացնել ամբողջ թվերի միջև եղած միջակայքերը, իսկ դա հնարավորություն է տալիս ավելի ճշգրիտ չափումներ կատարել:

Կոտորակները լինում են սովորական և տասնորդական:

Սովորական կոտորակներ

Սովորական են կոչվում այն կոտորակները, որի թվերը գրվում են հետևյալ կերպ 
 : Սովորական կոտորակներում վերևի գրված թիվը կոչվում է համարիչ, իսկ ներքևում գրվածը՝ հայտարար:

Կոտորակները լինում են կանոնավոր և անկանոն:

Կանոնավոր են այն կոտորակները, որոնց համարիչը հայտարարից փոքր է:

Անկանոն են այն կոտորակները, որոնց համարիչը հայտարարից մեծ է կամ էլ իրար հավասար են:

Կոտորակների հետ կարելի է կատարել հետևյալ գործողությունները.

Գումարում.

Նույն հայտարարով կոտորակներ  գումարելիս հարկավոր է համարիչները գումարել իրար,իսկ հայտարարում գրել նույն հայտարարը: 

Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելիս պետք է կոտորակները բերել նույն հայտարարի, ապա այդ թիվը նախ բաժանել մի կոտորակի հայտարարին և բազմապատկել համարիչով, այս գործողությունը հերթով կոտորակների հետ անելուց հետո համարիչում ստացվաց թվերը գումարում ենք, իսկ հայտարարը գրում ընդհանուր հայտարարը:

Հանում. 

Նույն հայտարարով կոտորակներ  հանելիս հարկավոր է համարիչները հանել իրարից, իսկ հայտարարում գրել նույն հայտարարը:

Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ հանելիս պետք է կոտորակները բերել նույն հայտարարի, ապա այդ թիվը նախ բաժանել մի կոտորակի հայտարարին և բազմապատկել համարիչով, այս գործողությունը հերթով կոտորակների հետ անելուց հետո համարիչում ստացվաց թվերը հանում ենք, իսկ հայտարարը գրում ընդհանուր հայտարարը:

Բազմապատկում.

Կոտորակները բազմապատկելու համար պարզապես անհրաժեշտ է համարիչները բազմապատկել իրար գրել համարիչում, հայտարարները՝ իրար ու գրել հայտարարում:

Բաժանում.

Բաժանման համար անհրաժեշտ է առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկել երկրորդ կոտորակի հայտարարին և գրել համարիչում, իսկ հայտարարը ստանալու համար՝ առաջինը հայտարարը բազմապատկել երկրորդի համարիչի հետ:

Վարժություններ Շտեմարանից

1) Նշվածներից որ եռյակում են թվերը գրված նվազման կարգով.

1. 0,75; 2/3; 3/5  0,75;  0,667; 0,6

2. 3/5; 2/3; 0,75

3.2/3; 0,75; 3/5

4. 2/3; 3/5; 0,75

2) Գտնել 12-ի ¾ մասը

12*3/4=36/4=9

Առաջադրանք 3
Արտահայտության արժեքը հաշվելը: Ի՞նչ տեսակի առաջադրանքեր կան ավարտական քննությունների շտեմարաններում և ինչպես են դրանք լուծվում (կոնկրետ օրինակների ցուցադրությամբ):

Արտահայտության արժեքի հաշվումը

Գործողությունների կատարման հերթականությունը նշվում է փակագծերով։

1.   Թվի աստիճան բարձրացնելը

2.   Ֆունկցիայի արժեքի հաշվում

3.   Բազմապատկում և բաժանում

4.   Գումարում և հանում

Արտահայտության արժեքը հաշվելիս այբբենական տառերի փոխարեն տեղադրում են թվային արտահայտությունները, համապատասխան խնդիրներին։ Բազմաթիվ լուծումների բազմությունը, որոնց տեղադրելու դեպքում արտահայտությունը իմաստ ունի կոչվում է Թույլատրելի Արժեքների Բազմություն ( կրճատ ՝ԹԱԲ )

Օրինակ ՝   արտահայտության համար Թույլատրելի Արժեքների Բազմությունը ՝ բոլոր a և b թվերը որոնց դեպքում 

Գործողությունների հատկությունները

Գումարելիների տեղափոխությունից գումարը չի փոխվում.

Հանումը գումարումի հակառակ գործողությունն է.

Արտադրիչների տեղափոխությունից արտադրյալը չի փոխվում.

Բաժանումը բազմապատկման հակառակ գործողությունն է։ 0 - ի վրա բաժանում անհնար է։ b - ի վրա բաժանում նույն է, ինչ որ բազմապատկում b - ի հակադարձ թվի վրա.

Թվի աստիճան բարձրացնելը կոմմուտատիվ չէ։ Դրա համար էլ կան երկու հակառակ գործողություններ ՝ թվի աստիճան բարձրացնելը և թվի արմատ հաշվելը։

Ասոցիատիվ հատկությունը գումարման․  

Ասոցիատիվ հատկությունը բազմապատկման․

Դիստրիբուտիվ հատկությունը բազմապատկման․ 

Դիստրիբուտիվ հատկությունը աստիճան բարձրացնելու․ 

Գումարումը աստիճանի ցուցիչի․ 

Բազմապատկումը աստիճանի ցուցիչի․ 

Վարժություններ Շտեմարանից

¾+5/3+6/2=36+20+36/12=7.667

Առաջադրանք 4.
Հանրահաշվական հավասարումներ: Ի՞նչ տեսակի առաջադրանքեր կան ավարտական քննությունների շտեմարաններում և ինչպես են դրանք լուծվում (կոնկրետ օրինակների ցուցադրությամբ)

Հավասարման արմատ կոչվում է փոփոխականի այն արժեքը, որի դեպքում հավասարումը դառնում է ճիշտ հավասարություն:

Հավասարումը լուծել՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները, կամ ապացուցել, որ արմատներ չկան:

Օրինակ` 2x-15=x-5

                  2x-x=-5+15

                  X=10 

Վարժություններ Շտեմարանից

1)      2(x-2.5)=-24

2x-5=-24

2x=-24+5

2x=-19

X=-19/2

2)       

3)      5(x+2)=2(x+10)

5x+10=2x+20

5x-2x=20-10

3x=10

X=10/3

Առաջադրանք 5.
Հանրահաշվական անհավասարումներ: Ի՞նչ տեսակի առաջադրանքեր կան ավարտական քննությունների շտեմարաններում և ինչպես են դրանք լուծվում (կոնկրետ օրինակների ցուցադրությամբ):

Մեկ անհայտով անհավասարումներ

Անհավասարումների մեջ նույնպես անում ենք այն քայլերը, որոնք հավասարման մեջ, սակայն անհավասարումների լուծումը մի փոքր այլ է: Անհավասարման  լուծում  անվանում  են այն  x թիվը,  որը  անհավասարման  մեջ  x_-ի փոխարեն  տեղադրելով  կստացվի  ճիշտ անհավասարություն:

Կան հետևյալ տեսքի անհավասարումներ՝

ax>b

ax<b

ax≥b

ax≤b

Օրինակներ Շտեմարանից

4-6x≤14x-3

7

x 20/7

x